Marcin Otorowski - strona domowa

Na fali poprzednich artykułów o szansach na zwycięstwo w grach losowych, artykuł ten został poświęcony grze liczbowej Keno. Jest to gra, której zasady są bardzo podobne do zasad innej gry ze stajni Totalizatora Sportowego – Multi Multi. Nim przejdę do analizy szans na wygraną, krótkie omówienie zasad:

Zasady gry

Gracz skreśla od 1 do 10 wybranych przez siebie liczb z przedziału 1-70. Niezależnie od liczby skreśleń, stawka za kupon jest taka sama i wynosi 2,50 zł (z czego 50 gr to podatek). Wygrana suma zależy od liczby trafień na kuponie, a także od ilości typów. Przykładowo, jeśli wytypujemy 9 liczb i trafimy wszystkie, to zgarniamy standardową wygraną w wysokości 40 000 zł. Jeśli trafimy 9 liczb, ale oddamy 10 typów, to wygrana wyniesie jedynie 10 000 zł. Innymi słowy, wygrana rośnie wraz ze wzrostem liczby trafień i maleje wraz ze wzrostem liczby typowanych liczb.

Największą wygraną można uzyskać trafnie typując 10 liczb (standardowa wypłata wynosi wówczas 100 000 zł). Jeśli na kuponie skreślimy 10 liczb, lecz w losowaniu nie padnie żadna z nich, to wygrywamy zryczałtowaną nagrodę w wysokości 4 zł. Wszystkie możliwe wypłaty w zależności od ilości skreśleń i trafionych liczb przedstawia poniższa tabelka:

Warto dodać, że w Keno istnieje możliwość zwiększenia ewentualnej wygranej poprzez zwiększenie stawki (działa to liniowo – dwa razy większa stawka oznacza dwa razy większą wypłatę). Ze względu na liniowość, w poniższych rozważaniach pomijam sytuację, w której gracz podbija stawkę.

Przewaga TS

Jaka jest skala przewagi, jaką Totalizator Sportowy ma nad graczem? Spora. Aby do niej dojść, konieczne jest wyprowadzenie wzoru na prawdopodobieństwo wygranej, przyjmując następujące oznaczenia:

S – liczba możliwych do skreślenia liczb (w Polsce wynosi 70)
W – liczba wylosowanych liczb (w Polsce wynosi 10)

T – liczba skreśleń (z przedziału 1-10)
K – liczba trafień (z przedziału 1-10, przy czym K nie może być większe niż T)

to prawdopodobieństwo wygranej, polegającej na trafnym wytypowaniu K liczb na kuponie, zawierającym T skreśleń dla W wygrywających spośród S liczb wyraża się wzorem:

gdzie oczywiście T>=K oraz W>=K. Wzór pozwala obliczyć prawdopodobieństwo dowolnej sytuacji – korzystając z niego dowiadujemy się, że prawdopodobieństwo nietrafienia żadnej liczby (K=0) przy 10 skreśleniach (T=10) i stałych parametrach (S=70, W=10) wynosi ok. 19,005%. Wszystkie możliwe prawdopodobieństwa przedstawia poniższa tabela (poszczególne kolumny sumują się oczywiście do 100%):

Jak widać, niektóre warianty są bardziej prawdopodobne, inne mniej. Niestety, wypłaty są przewidziane tylko dla tych przypadków, których prawdopodobieństwo jest dość niskie. Na pierwszy rzut oka, najroztropniejsza wydaje się gra dziesięcioma liczbami, ponieważ jest szansa 1:5, że nie trafimy nic, przez co będziemy na plusie (kupon za 2,50, wygrana 4,00, łącznie 1,50 zysku). Niestety, trafiając 1,2,3 lub 4 liczby nie zyskujemy nic, a prawdopodobieństwo trafienia 5,6,7,8,9 czy 10 jest bardzo małe.

Najbardziej obiektywym sposobem sprawdzenia, która strategia jest najbardziej efektywna jest pomnożenie prawdopodobieństw przez odpowiadające im kwoty w razie ewentualnej wygranej – sumując tak wymnożone wartości kolumnami otrzymamy oczekiwane wypłaty.

Rzut okna na tabelkę daje dwa ważne wnioski:

1. Najkorzystniej grać 10 liczbami, gdyż wówczas oczekiwana wypłata jest najwyższa (wynosi ok. 77 gr). Względnie wysokiej wypłaty możemy się spodziewać również przy grze jednym numerkiem. Kompletnie nie opłaca grać się 9, 8, 7 i 6 liczbami.
2. Żadna komórka nie zawiera wartości większej niż 2,50. Oznacza to, że grając w Keno Totalizator Sportowy ma zawsze przewagę nad graczem – w najlepszym wypadku (dla gry 10 liczbami) oczekiwana wypłata wynosi jedynie niecałe 80 groszy co oznacza, że gracz traci statystycznie 1,73 zł (różnica pomiędzy ceną zakładu a oczekiwaną wygraną) na jednym zakładzie.

Podbijanie stawki

Na początku wspomniałem, że analizuję jedynie sytuację grania “normalną” stawką. Czy podbicie jej coś zmienia w tych rozważaniach? Tak, ale tylko i wyłącznie oczekiwane wartości zysku/straty na grze – przykładowo, skreślenie 10 liczb na zwykłym kuponie kosztowało 2,50 zł i dawało nadzieję matematyczną kwoty wypłaty w wysokości 77 gr. Podbicie stawki do 5 zł za kupon spowoduje, że nadzieja również wzrośnie dwukrotnie. Można więc wygrać więcej, ale też i więcej stracić. Względny ROI (oczekiwany zysk / ceny zakładu) pozostaje ten sam.

Podsumowanie

Keno nie oferuje specjalnie dużych wygranych, prawdopodobieństwo wygranej również nie oszałamia (szansa wygrania głównej nagrody jest o kilka rzędów wielkości mniejsza od prawdopodobieństwa wygranej w Lotto). Jeśli jednak zaakceptujemy ryzyko przegranej oraz pogodzimy się z istotną przewagę TS nad graczem, to aby maksymalizować zysk powinniśmy grać 10 liczbami – dają one największą, wyrażaną nadzieją matematyczną spodziewaną wygraną.