Marcin Otorowski - strona domowa

Każdy umie za pomocą kartki papieru i czegoś do pisania policzyć wynik dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Istnieje również niezawodny sposób na policzenie bez użycia kalkulatora pierwiastka z dowolnej liczby.

Przykładowo, policzmy pierwiastek z liczby 15433,0929.

Pierwszym krokiem jest rozbicie liczby na dwuelementowe zespoły poczynając od przecinka. Po rozbiciu liczba będzie wyglądała tak:

 1 | 54 | 33, | 09 | 29

Na początku szukamy liczby, której kwadrat jest nie większy, niż liczba z pierwszego zespołu (w tym wypadku 1). Oczywiście, liczbą, która po podniesieniu do kwadratu da wynik nie większy niż 1 jest jedynka, i to ją zapisujemy jako pierwszą cyfrę wyniku:

 1 | 54 | 33, | 09 | 29 = 1

Teraz wykonujemy standardowy krok jak w dzieleniu pisemnym – jedynkę z wyniku zapisujemy pod liczbą pierwszego zespołu, odejmujemy je, i ściągamy liczby z kolejnego zespołu:

 1 | 54 | 33, | 09 | 29 = 1
-1
=    54

Otrzymany wynik (54) zapamiętajmy i oznaczmy przez literkę w. W następnym kroku mnożymy liczbę, reprezentowaną przez dotychczas znalezione cyfry wyniku pierwiastkowania przez dwa, i oznaczając ją jako a znajdujemy liczbę, będąca największym istniejącym rozwiązaniem nierówności:

(10*a + x) * x < = w

W przypadku tego zadania, w = 54, z kolei a wynosi 2 (bo tylko jedynkę na razie zapisaliśmy z prawej strony, a po przemnożeniu przez 2 daje ona liczbę 2). Rozwiązaniem nierówności

(10*2 + x) * x < = 54

jest oczywiście 2 (bo 22*2 = 44 < = 54, gdyby wziąć 3 to wówczas 23*3 = 66 > 54). 2 dopisujemy do wyniku:

 1 | 54 | 33, | 09 | 29 = 12
-1
=    54

Wynikiem mnożenia 10*2 + x było 44 dla znalezionej liczby - wynik ten odejmujemy od 54, i do wyniku odejmowania ściągamy kolejny dwucyfrowy zespół:

 1 | 54 | 33, | 09 | 29 = 12
-1
=    54
    -44
    =1033

Wykonujemy ponownie tę samą operację - zapisaną po prawej stronie liczbę 12 mnożymy razy dwa i oznaczamy jako a, a liczbę 1033 oznaczamy jako w i szukamy największego z istniejących rozwiązań nierówności:

(10*a + x)*x < = w

czyli

(240+x)*x < = 1033

Rozwiązaniem jest liczba 4, bo 244*4 = 976 < = 1033 (5 dałaby wynik 245*5 = 1225 > 1033). Do wyniku dopisujemy "czwórkę":

 1 | 54 | 33, | 09 | 29 = 124
-1
=    54
    -44
    =1033

Lewa strona rozwiązywanej przed chwilą nierówności dla liczby 4 wyniosła 976, tę liczbę odejmujemy od 1033 i ściągamy kolejne dwie cyfry, pomijając przecinek (wstawimy go jedynie do wyniku):

 1 | 54 | 33, | 09 | 29 = 124,
-1
=    54
    -44
    =1033
    - 976
    =  5709

Kolejny raz to samo - wynik (124) mnożymy razy dwa, szukamy największego rozwiązania nierówności (124*2*10+x)*x < = 5709. Rozwiązaniem będzie 2, które da lewą stronę równą 4964. Dopisujemy dwa do wyniku, a od liczby 5709 odejmujemy 4964, i dostawiamy ostatni zespół:

 1 | 54 | 33, | 09 | 29 = 124,2
-1
=    54
    -44
    =1033
    - 976
    =  5709
    -  4964
      = 74529

Ostatnia iteracja: Mnożymy razy dwa liczbę z prawej strony, ale bez uwzględniania przecinka: 1242 * 2 = 2484. Szukamy najwyższego rozwiązania nierówności (2484*10 + x) * x <= 74529. Rozwiązaniem jest x = 3, dla którego lewa strona nierówności wyniesie dokładnie 74529. Dopisujemy 3 do wyniku, a liczbę 74529 odejmujemy od 74529:

 1 | 54 | 33, | 09 | 29 = 124,23
-1
=    54
    -44
    =1033
    - 976
    =  5709
    -  4964
      = 74529
      - 74529
          = 0

Ponieważ wyszło zero, to znaczy, że skończyliśmy obliczenia pierwiastka i otrzymana liczba 124,23 podniesiona do kwadratu da idealnie liczbę 15433,0929. Gdyby pierwiastek był liczbą z nieskończonym rozwinięciem dziesiętnym, to w obliczeniach tą metodą zero nigdy nie wyjdzie - w pewnym momencie trzeba będzie przestać liczyć, a obliczoną wartość przyjąć jako pierwiastek z pewną ograniczoną dokładnością. Sprawdzenie na kalkulatorze potwierdza prawdziwość powyższych obliczeń :)